Топологическое представление музыкальных произведений в многомерном фазовом пространстве позволит по-новому подойти к изучению загадок музыкальной гармонии.
Теоретик музыки и композитор Дмитрий Тиможко из Принстонского университета показал, что с помощью математических методов любые музыкальные аккорды можно представить в пространственной форме.
Дмитрий Тиможко (Dmitri Tymoczko) продемонстрировал, что аккорды — гармонические сочетания нескольких одновременно звучащих звуков — можно описать с помощью топологии, а именно ее раздела о многомерных фазовых пространствах, называемых орбиобразиям (orbifold).
Например, для созвучий, состоящих из всего двух звуков, таким пространством, по мнению автора, будет лента Мёбиуса, известная тем, что имеет всего одну сторону. Чтобы получить эту фигуру Тиможко начал с листа бумаги, на котором на горизонтальной оси отложил значения высоты тона одного звука, а в вертикальной — другого.
Звуковой ряд описываемых музыкальных произведений соответствовал точкам с определенными координатами на осях. Затем автор свернул лист бумаги в цилиндр, превратив горизонтальную ось в окружность, что соответствовало созданию квинтового круга — циклического повторения нот в октавах.
Проделав аналогичную операцию с другой осью, Тиможко получил торообразную фигуру. После этого он счел, что порядок нот в аккорде не имеет значения, так как они звучат одновременно, и создал из предыдущей фигуры соответствующую модель, оказавшуюся лентой Мёбиуса.
Моделируя аналогичным образом аккорды из трех и более звуков, автор получил различные, описывающие их многомерные топологические пространства (многообразия). Исследуя с помощью полученных моделей музыкальные произведения — от Шопена до Deep Purple, Дмитрий обнаружил, что аккорды одного произведения, как правило, имеют близкое расположение и занимают только небольшую часть своего пространства. При этом разные произведения могут быть расположены в различных частях полученных многообразий.
Открытие Дмитрия Тиможко может быть использовано для точного математического описания различий музыкальных стилей, а также расширения художественного инструментария композиторов и «пишущих музыку» компьютеров.